paoapo(侧棱垂直底面的四棱锥外接球半径)
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2023-11-04
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1. paoapo,侧棱垂直底面的四棱锥外接球半径?
首先要知道球心在正四棱锥的高上,
然后考察正四棱锥的高与底面一顶点构成的三角形,在高上找一点,使该点到正四棱锥的顶点与底面一顶点的距离相等,该点就是球心.
正四棱锥的顶点为P,底面一顶点为A,底面中心为O,又设PA=m,PO=h,底边长为a,则OA=√2a/2,m^2=h^2+(1/2)a^2在△PAO中,作PA的中垂线交PO于I点,该点即为球心I,设PI=r,则r=(1/2)m÷cos∠APO,而cos∠APO=h/m,所以球半径为r=m^2/2h=(h^2+(1/2)a^2)/2h.
设四棱锥底面的半径为r,高为h,外接球半径为R
有题目可知h=1
r=√2
∵(R-h)²+r²=R²
∴R=3/2
正四棱锥的顶点为P,底面一顶点为A,底面中心为O,又设PA=m,PO=h,底边长为a,则OA=√2a/2,m^2=h^2+(1/2)a^2在△PAO中,作PA的中垂线交PO于I点,该点即为球心I,设PI=r,则r=(1/2)m÷cos∠APO,而cos∠APO=h/m,所以球半径为r=m^2/2h=(h^2+(1/2)a^2)/2h.
设四棱锥底面的半径为r,高为h,外接球半径为R
有题目可知h=1
r=√2
∵(R-h)²+r²=R²
∴R=3/
2. 第一象限内的点P在直线y?
(1)过点P作PH⊥OA,垂足为点H.∵点P在直线y=2x上,∴设点P的坐标为(x,2x).∵∠PAO=45°,PH⊥OA,∴∠PAO=∠APH=45°.∴PH=AH=2x.∵点A的坐标为(3,0),∴x+2x=3.∴x=1.∴点P的坐标为(1,2).(2)设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).∵图象经过P(1,2)、O(0,0)、A(3,0)三点,∴,解得,∴所求的二次函数解析式为y=-x2+3x.顶点M的坐标为(,).(3)根据题意,得点Q的坐标为(,3).∵S△AQO=×3×3=,S△APO=×3×2=3,S四边形AMPO=×1×2+×(2+)×+××=
3. 机油apo是什么意思?
PAO是Poly Alpha Olefin的缩写,意思是烯烃,烯烃是四类合成的基础油。聚a烯烃基础油从分类上应划分为合成基础油。
4. 从园外一点做两条圆的切线?
过圆外一点P作圆O的两条切线PA. PB ,切点为A, B,连接PO, OA, OB, AB∵△PAO≌△PBO∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO ∴PO⊥AB. (等腰三角形PAB,顶角的角平分线垂直且平分它的底边。
5. 如何把三角形三等分?
把三角形三等分是一个比较困难的几何问题,以下是四种方法:
方法一:使用三角函数
1. 作出三角形ABC,并作出角平分线AD和BE,交于点O。
2. 连接AO和BO,分别平分∠BAC和∠ABC,交于点P和Q。
3. 连接PQ,PQ即为所求的三等分线。
证明:
由三角函数的定义可知,sin(∠BAC/2)=AD/AB,sin(∠ABC/2)=BE/BC。
因为∠BAC+∠ABC=180°,所以sin(∠BAC/2)=sin(∠ABC/2)=sin(90°-∠BAC/2-∠ABC/2)。
所以有:
AD/AB=BE/BC=sin(90°-∠BAC/2-∠ABC/2)
因此,AD/AB=BE/BC=tan(∠BAC/2)tan(∠ABC/2)
又因为AO/AB=tan(∠BAC/2),BO/BC=tan(∠ABC/2),所以AO/BO=tan(∠BAC/2)/tan(∠ABC/2)。
因此,AO/BO=AD/BE。
又因为∠PAO=∠QBO,所以三角形PAO和QBO是全等三角形。
因此,PO=QO,即PQ即为三角形ABC的三等分线。
方法二:使用圆心角平分线
1. 作出三角形ABC,并作出外接圆O。
2. 连接AO、BO和CO,分别作AO、BO和CO的圆心角平分线,交于点D、E和F。
3. 连接DF和EF,DF和EF即为所求的三等分线。
证明:
由于三角形ABC的外接圆O的圆心角为360°,所以∠AOC+∠BOC+∠AOB=360°。
又因为AO、BO和CO是三角形ABC外接圆的直径,所以∠AOC=∠BOC=∠AOB=90°。
因此,∠COD=∠EOB=∠FOA=45°。
又因为∠CDE=∠BEF=45°,所以三角形CDE和BEF都是等腰直角三角形。
因此,DE=EF。
又因为∠ADF=∠BEF=45°,所以三角形ADF和BEF是全等三角形。
因此,AD=BE。
又因为∠AOD=∠BOE=90°,所以三角形AOD和BOE是全等三角形。
因此,AO=BO。
因此,DF和EF即为三角形ABC的三等分线。
方法三:使用等边三角形
1. 作出等边三角形ABC,并作出中线AD和BE,交于点O。
2. 连接AO和BO,分别平分∠AOC和∠BOC,交于点P和Q。
3. 连接PQ,PQ即为所求的三等分线。
证明:
由于三角形ABC是等边三角形,所以AB=BC=AC。
又因为CD是三角形ABC的中线,所以AD=BD=CD。
所以三角形ABD、BCD和ACD都是等边三角形。
因此,∠ABD=∠ACD=∠BCD=60°。
又因为∠AOC=∠BOC=120°,所以∠AOC+∠BOC=240°。
所以∠POQ=∠AOC+∠BOC=240°/2=120°。
因此,三角形APO和BQO都是等边三角形。
又因为AO=BO,所以∠PAO=∠QBO。
因此,三角形PAO和QBO是全等三角形。
所以PO=QO,即PQ即为三角形ABC的三等分线。
方法四:使用等腰三角形
1. 作出等腰三角形ABC,并作出高AD和中线BE,交于点O。
2. 连接AO和BO,分别平分∠AOC和∠BOC,交于点P和Q。
3. 连接PQ,PQ即为所求的三等分线。
证明:
由于三角形ABC是等腰三角形,所以AB=AC。
又因为AD是三角形ABC的高,所以∠BAD=∠CAD。
所以∠AOC=2∠BAD+2∠CAD=4∠BAD=4∠BOC。
因此,∠AOC=4∠BOC=144°。
又因为∠AOC=∠APO+∠BQO,所以∠APO+∠BQO=144°。
所以∠APO=∠BQO=(144°-∠AOC)/2=18°。
因此,三角形APO和BQO都是等腰三角形。
又因为AO=BO,所以∠PAO=∠QBO。
因此,三角形PAO和QBO是全等三角形。
所以PO=QO,即PQ即为三角形ABC的三等分线。
需要注意的是,这些方法都是几何学中的经典问题,需要一定的几何知识和技巧。
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1. paoapo,侧棱垂直底面的四棱锥外接球半径?
首先要知道球心在正四棱锥的高上,
然后考察正四棱锥的高与底面一顶点构成的三角形,在高上找一点,使该点到正四棱锥的顶点与底面一顶点的距离相等,该点就是球心.
正四棱锥的顶点为P,底面一顶点为A,底面中心为O,又设PA=m,PO=h,底边长为a,则OA=√2a/2,m^2=h^2+(1/2)a^2在△PAO中,作PA的中垂线交PO于I点,该点即为球心I,设PI=r,则r=(1/2)m÷cos∠APO,而cos∠APO=h/m,所以球半径为r=m^2/2h=(h^2+(1/2)a^2)/2h.
设四棱锥底面的半径为r,高为h,外接球半径为R
有题目可知h=1
r=√2
∵(R-h)²+r²=R²
∴R=3/2
正四棱锥的顶点为P,底面一顶点为A,底面中心为O,又设PA=m,PO=h,底边长为a,则OA=√2a/2,m^2=h^2+(1/2)a^2在△PAO中,作PA的中垂线交PO于I点,该点即为球心I,设PI=r,则r=(1/2)m÷cos∠APO,而cos∠APO=h/m,所以球半径为r=m^2/2h=(h^2+(1/2)a^2)/2h.
设四棱锥底面的半径为r,高为h,外接球半径为R
有题目可知h=1
r=√2
∵(R-h)²+r²=R²
∴R=3/
2. 第一象限内的点P在直线y?
(1)过点P作PH⊥OA,垂足为点H.∵点P在直线y=2x上,∴设点P的坐标为(x,2x).∵∠PAO=45°,PH⊥OA,∴∠PAO=∠APH=45°.∴PH=AH=2x.∵点A的坐标为(3,0),∴x+2x=3.∴x=1.∴点P的坐标为(1,2).(2)设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).∵图象经过P(1,2)、O(0,0)、A(3,0)三点,∴,解得,∴所求的二次函数解析式为y=-x2+3x.顶点M的坐标为(,).(3)根据题意,得点Q的坐标为(,3).∵S△AQO=×3×3=,S△APO=×3×2=3,S四边形AMPO=×1×2+×(2+)×+××=
3. 机油apo是什么意思?
PAO是Poly Alpha Olefin的缩写,意思是烯烃,烯烃是四类合成的基础油。聚a烯烃基础油从分类上应划分为合成基础油。
4. 从园外一点做两条圆的切线?
过圆外一点P作圆O的两条切线PA. PB ,切点为A, B,连接PO, OA, OB, AB∵△PAO≌△PBO∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO ∴PO⊥AB. (等腰三角形PAB,顶角的角平分线垂直且平分它的底边。
5. 如何把三角形三等分?
把三角形三等分是一个比较困难的几何问题,以下是四种方法:
方法一:使用三角函数
1. 作出三角形ABC,并作出角平分线AD和BE,交于点O。
2. 连接AO和BO,分别平分∠BAC和∠ABC,交于点P和Q。
3. 连接PQ,PQ即为所求的三等分线。
证明:
由三角函数的定义可知,sin(∠BAC/2)=AD/AB,sin(∠ABC/2)=BE/BC。
因为∠BAC+∠ABC=180°,所以sin(∠BAC/2)=sin(∠ABC/2)=sin(90°-∠BAC/2-∠ABC/2)。
所以有:
AD/AB=BE/BC=sin(90°-∠BAC/2-∠ABC/2)
因此,AD/AB=BE/BC=tan(∠BAC/2)tan(∠ABC/2)
又因为AO/AB=tan(∠BAC/2),BO/BC=tan(∠ABC/2),所以AO/BO=tan(∠BAC/2)/tan(∠ABC/2)。
因此,AO/BO=AD/BE。
又因为∠PAO=∠QBO,所以三角形PAO和QBO是全等三角形。
因此,PO=QO,即PQ即为三角形ABC的三等分线。
方法二:使用圆心角平分线
1. 作出三角形ABC,并作出外接圆O。
2. 连接AO、BO和CO,分别作AO、BO和CO的圆心角平分线,交于点D、E和F。
3. 连接DF和EF,DF和EF即为所求的三等分线。
证明:
由于三角形ABC的外接圆O的圆心角为360°,所以∠AOC+∠BOC+∠AOB=360°。
又因为AO、BO和CO是三角形ABC外接圆的直径,所以∠AOC=∠BOC=∠AOB=90°。
因此,∠COD=∠EOB=∠FOA=45°。
又因为∠CDE=∠BEF=45°,所以三角形CDE和BEF都是等腰直角三角形。
因此,DE=EF。
又因为∠ADF=∠BEF=45°,所以三角形ADF和BEF是全等三角形。
因此,AD=BE。
又因为∠AOD=∠BOE=90°,所以三角形AOD和BOE是全等三角形。
因此,AO=BO。
因此,DF和EF即为三角形ABC的三等分线。
方法三:使用等边三角形
1. 作出等边三角形ABC,并作出中线AD和BE,交于点O。
2. 连接AO和BO,分别平分∠AOC和∠BOC,交于点P和Q。
3. 连接PQ,PQ即为所求的三等分线。
证明:
由于三角形ABC是等边三角形,所以AB=BC=AC。
又因为CD是三角形ABC的中线,所以AD=BD=CD。
所以三角形ABD、BCD和ACD都是等边三角形。
因此,∠ABD=∠ACD=∠BCD=60°。
又因为∠AOC=∠BOC=120°,所以∠AOC+∠BOC=240°。
所以∠POQ=∠AOC+∠BOC=240°/2=120°。
因此,三角形APO和BQO都是等边三角形。
又因为AO=BO,所以∠PAO=∠QBO。
因此,三角形PAO和QBO是全等三角形。
所以PO=QO,即PQ即为三角形ABC的三等分线。
方法四:使用等腰三角形
1. 作出等腰三角形ABC,并作出高AD和中线BE,交于点O。
2. 连接AO和BO,分别平分∠AOC和∠BOC,交于点P和Q。
3. 连接PQ,PQ即为所求的三等分线。
证明:
由于三角形ABC是等腰三角形,所以AB=AC。
又因为AD是三角形ABC的高,所以∠BAD=∠CAD。
所以∠AOC=2∠BAD+2∠CAD=4∠BAD=4∠BOC。
因此,∠AOC=4∠BOC=144°。
又因为∠AOC=∠APO+∠BQO,所以∠APO+∠BQO=144°。
所以∠APO=∠BQO=(144°-∠AOC)/2=18°。
因此,三角形APO和BQO都是等腰三角形。
又因为AO=BO,所以∠PAO=∠QBO。
因此,三角形PAO和QBO是全等三角形。
所以PO=QO,即PQ即为三角形ABC的三等分线。
需要注意的是,这些方法都是几何学中的经典问题,需要一定的几何知识和技巧。
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