截长补短法(截长补短法的经典例题)
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2023-11-28
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1. 截长补短法,截长补短法的经典例题?
例1、三角形ABC中,角A等于60度。BD和CE分别是角ABC与角ACB的角平分线,求证,EB+CD=BC。
用截长补短法添加辅助线,在BC上截取CE=CD,则易证三角形CPD与三角形CPE全等从而可证三角形BFP、BEP全等从而可证结论。
2. 截长补短法的用法例题?
1、截长:过某一点作长边的垂线;在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。
2、补短:延长短边;通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
3、截长补短法:初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段,补短就是在一条边上延长,使其等于一条所求边
一、截长补短法:
题目中出现线段之间的和差倍分时,考虑截长补短;
截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段的等量关系。
二、典型例题:
例题1、如图,在 △ABC 中,∠1 = ∠2 , ∠B = 2∠C ,求证: AC = AB + BD
图1
证明:(截长法)如图,在线段 AC 上截取 AE = AB ,连接 DE
图2
∵ AB = AE , ∠1 = ∠2 , AD = AD
∴ △ABD ≌ △AED
∴ BD = ED , ∠B = ∠AED , AB = AE
∵ ∠B = 2∠C ∴ ∠AED = 2∠C = ∠EDC + ∠C
∴ ∠EDC = ∠C ∴ ED = EC (等角对等边)
∵ AC = AE + EC
∴ AC = AB + BD (等量代换)
例题2、如图,在正方形 ABCD 中,E , F 分别为 DC ,BC 边上的点,且 ∠EAF = 45° ,连接 EF 。
求证: EF = BF + DE 。
图3
证明:(补短法)如图,将 DE 补在 FB 的延长线上,使 BG = DE , 连接 AG
图4
∵ 在正方形 ABCD 中 有 AD = AB , ∠D = ∠ABG = 90° , DE = BG
∴ △ADE ≌ △ABG ∴ ∠1 = ∠2 , AE = AG
∵ ∠EAF = 45° ∠1 + ∠3 + ∠EAF = ∠DAB = 90°
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠GAF = 45° = ∠EAF
∵ AE = AG , ∠EAF = ∠GAF , AF = AF
∴ △EAF ≌ △GAF ∴ EF = GF
∵ GF = BF + BG = BF + DE
∴ EF = BF + DE
例题3、如图,在 △ABC 中, ∠A = 90° , AB = AC ,BD 平分 ∠ABC ,CE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E 。
求证 : CE = 1/2 BD 。
图5
证明:如图,延长 CE 交 BA 的延长线于点 F
图6
∵ CE⊥BE ∴ ∠BEC = ∠BEF = 90°
∵ BD 平分 ∠ABC ∴ ∠1 = ∠2
∴ △BEC ≌ △BEF ∴ EC = EF
∵ ∠1 + ∠ADB = ∠3 + ∠EDC , ∠ADB = ∠EDC (对顶角相等)
∴ ∠1 = ∠3
∵ AB = AC , ∠BAD = ∠CAF = 90° , ∠1 = ∠3
∴ △ABD ≌ △ACF ∴ BD = CF = 2 CE
即 CE = 1/2 BD
3. 数学截长补短解题思路?
1. 分析情况:要认真分析问题,找出其中需要优化的部分和需要改进的方面,将其作为重点来处理和解决。
2. 定立目标:根据分析结果,明确需要达到的目标,建立可操作的步骤,依次完成。
3. 创新思维:进行创新思考,探索新的解决方案并实现。可以通过联想、类比等方式启发思路,从不同的角度看待问题,找到更好的解决方案。
4. 尝试改变:不断做尝试和调整,试图调整和改变计划中的策略和方法,找到适合自己的截长补短的方式。
5. 充分利用资源:利用现有的资源和工具,提高效率和质量,用更少的精力和时间去做更多的事情。
总之,截长补短需要我们全面的认识问题,找到根源并明确目标,运用创新思维和灵活的方法去解决问题,从而提高效率和质量。
4. 10道截长补短法的经典例题?
例1、三角形ABC中,角A等于60度。BD和CE分别是角ABC与角ACB的角平分线,求证,EB+CD=BC。
用截长补短法添加辅助线,在BC上截取CE=CD,则易证三角形CPD与三角形CPE全等从而可证三角形BFP、BEP全等从而可证结论。
例2、……
5. 截长补短的六种辅助线?
截长补短是一种绘图技巧,在绘制几何图形时,通过引入辅助线来帮助解决问题。常见的六种辅助线包括:垂直辅助线、平行辅助线、对称辅助线、中垂线、角平分线和角相等辅助线。
垂直辅助线常用于垂直关系的证明和构造中;平行辅助线可用于证明两线段平行;对称辅助线在处理对称性问题时非常有用;中垂线可用于找到等距离的点及解决存在直角的问题;角平分线将一个角分为两个等角;角相等辅助线常用于构造和证明两个角度相等。这些辅助线技巧使得证明和构造几何图形变得更加方便和准确。
6. 如何利用截长补短法证线段倍差?
这个知识现在中考一般来说,不能考了!要是作为常见题,又要加重大部分孩子的负担了!不过说实话,现在高中和初中数学真的脱节了,对大部分高中数学老师来说,初中老师教的知识太少了!
7. 截长补短法原理?
截长补短法是一种有效的学习方法,其原理是在学习过程中,将已经掌握的知识点进行总结、归纳和整理,同时找出自己薄弱的知识点,加强补充学习。
这种方法能够提高知识点的掌握程度,同时缩短学习时间,使学习更加高效。通过不断地截取长处和补足短处,不断地完善自己的知识结构,提高自己的学习能力和成绩。
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1. 截长补短法,截长补短法的经典例题?
例1、三角形ABC中,角A等于60度。BD和CE分别是角ABC与角ACB的角平分线,求证,EB+CD=BC。
用截长补短法添加辅助线,在BC上截取CE=CD,则易证三角形CPD与三角形CPE全等从而可证三角形BFP、BEP全等从而可证结论。
2. 截长补短法的用法例题?
1、截长:过某一点作长边的垂线;在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。
2、补短:延长短边;通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
3、截长补短法:初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段,补短就是在一条边上延长,使其等于一条所求边
一、截长补短法:
题目中出现线段之间的和差倍分时,考虑截长补短;
截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段的等量关系。
二、典型例题:
例题1、如图,在 △ABC 中,∠1 = ∠2 , ∠B = 2∠C ,求证: AC = AB + BD
图1
证明:(截长法)如图,在线段 AC 上截取 AE = AB ,连接 DE
图2
∵ AB = AE , ∠1 = ∠2 , AD = AD
∴ △ABD ≌ △AED
∴ BD = ED , ∠B = ∠AED , AB = AE
∵ ∠B = 2∠C ∴ ∠AED = 2∠C = ∠EDC + ∠C
∴ ∠EDC = ∠C ∴ ED = EC (等角对等边)
∵ AC = AE + EC
∴ AC = AB + BD (等量代换)
例题2、如图,在正方形 ABCD 中,E , F 分别为 DC ,BC 边上的点,且 ∠EAF = 45° ,连接 EF 。
求证: EF = BF + DE 。
图3
证明:(补短法)如图,将 DE 补在 FB 的延长线上,使 BG = DE , 连接 AG
图4
∵ 在正方形 ABCD 中 有 AD = AB , ∠D = ∠ABG = 90° , DE = BG
∴ △ADE ≌ △ABG ∴ ∠1 = ∠2 , AE = AG
∵ ∠EAF = 45° ∠1 + ∠3 + ∠EAF = ∠DAB = 90°
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠GAF = 45° = ∠EAF
∵ AE = AG , ∠EAF = ∠GAF , AF = AF
∴ △EAF ≌ △GAF ∴ EF = GF
∵ GF = BF + BG = BF + DE
∴ EF = BF + DE
例题3、如图,在 △ABC 中, ∠A = 90° , AB = AC ,BD 平分 ∠ABC ,CE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E 。
求证 : CE = 1/2 BD 。
图5
证明:如图,延长 CE 交 BA 的延长线于点 F
图6
∵ CE⊥BE ∴ ∠BEC = ∠BEF = 90°
∵ BD 平分 ∠ABC ∴ ∠1 = ∠2
∴ △BEC ≌ △BEF ∴ EC = EF
∵ ∠1 + ∠ADB = ∠3 + ∠EDC , ∠ADB = ∠EDC (对顶角相等)
∴ ∠1 = ∠3
∵ AB = AC , ∠BAD = ∠CAF = 90° , ∠1 = ∠3
∴ △ABD ≌ △ACF ∴ BD = CF = 2 CE
即 CE = 1/2 BD
3. 数学截长补短解题思路?
1. 分析情况:要认真分析问题,找出其中需要优化的部分和需要改进的方面,将其作为重点来处理和解决。
2. 定立目标:根据分析结果,明确需要达到的目标,建立可操作的步骤,依次完成。
3. 创新思维:进行创新思考,探索新的解决方案并实现。可以通过联想、类比等方式启发思路,从不同的角度看待问题,找到更好的解决方案。
4. 尝试改变:不断做尝试和调整,试图调整和改变计划中的策略和方法,找到适合自己的截长补短的方式。
5. 充分利用资源:利用现有的资源和工具,提高效率和质量,用更少的精力和时间去做更多的事情。
总之,截长补短需要我们全面的认识问题,找到根源并明确目标,运用创新思维和灵活的方法去解决问题,从而提高效率和质量。
4. 10道截长补短法的经典例题?
例1、三角形ABC中,角A等于60度。BD和CE分别是角ABC与角ACB的角平分线,求证,EB+CD=BC。
用截长补短法添加辅助线,在BC上截取CE=CD,则易证三角形CPD与三角形CPE全等从而可证三角形BFP、BEP全等从而可证结论。
例2、……
5. 截长补短的六种辅助线?
截长补短是一种绘图技巧,在绘制几何图形时,通过引入辅助线来帮助解决问题。常见的六种辅助线包括:垂直辅助线、平行辅助线、对称辅助线、中垂线、角平分线和角相等辅助线。
垂直辅助线常用于垂直关系的证明和构造中;平行辅助线可用于证明两线段平行;对称辅助线在处理对称性问题时非常有用;中垂线可用于找到等距离的点及解决存在直角的问题;角平分线将一个角分为两个等角;角相等辅助线常用于构造和证明两个角度相等。这些辅助线技巧使得证明和构造几何图形变得更加方便和准确。
6. 如何利用截长补短法证线段倍差?
这个知识现在中考一般来说,不能考了!要是作为常见题,又要加重大部分孩子的负担了!不过说实话,现在高中和初中数学真的脱节了,对大部分高中数学老师来说,初中老师教的知识太少了!
7. 截长补短法原理?
截长补短法是一种有效的学习方法,其原理是在学习过程中,将已经掌握的知识点进行总结、归纳和整理,同时找出自己薄弱的知识点,加强补充学习。
这种方法能够提高知识点的掌握程度,同时缩短学习时间,使学习更加高效。通过不断地截取长处和补足短处,不断地完善自己的知识结构,提高自己的学习能力和成绩。
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